همه چیز درباره معادله درجه دوم و حل معادله درجه ۲
آموزش کامل حل معادله درجه ۲ در ریاضی اول دبیرستان ، ریاضی دهم ، ریاضی دهم انسانی ، ریاضی نهم ، حسابان سوم دبیرستان ، حسابان یازدهم ، ریاضی سال سوم انسانی و ریاضی یازدهم تجربی
یادآوری ویژگی های معادله درجه اول
شکل کلی معادله درجه ۱ به صورت y= ax+b است که در آن ، a ضریبی مخالف صفر و b عددی حقیقی است.
نمودار آن یک خط راست است.
معادله درجه ۱ دارای یک ریشه است.
معادله درجه ۲
به معادله هایی که پس از ساده کردن ، بالاترین درجه متغیر آنها برابر ۲ باشد معادله درجه ۲ می گویند.
شکل کلی معادله درجه ۲ به صورت زیر است:
در این معادله a یک ضریب حقیقی مخالف صفر و b و c دو عدد حقیقی هستند.
تفاوت های معادله درجه ۱ و معادله درجه ۲ :
معادله درجه ۱ دو ضریب و معادله درجه دوم ، سه ضریب دارد.
معادله درجه ۱ دارای یک ریشه است اما معادله درجه ۲ در حالت کلی دو ریشه دارد.
نمودار معادله درجه ۱ خط راست است اما نمودار معادله درجه دوم منحنی است.
مثال: نمودار معادله درجه ۲ زیر را رسم کنید.
بحث در مورد تعداد ریشه های معادله درجه ۲
برای تعداد ریشه های یک معادله درجه ۲ ، سه حالت وجود دارد.
اگر نمودار معادله درجه ۲ محور x ها را فقط در یک نقطه قطع کند آن معادله درجه ۲ ، یک ریشه دارد.
اگر نمودار معادله درجه ۲ محور x ها را در ۲ نقطه قطع کند آن معادله درجه ۲ ، دو ریشه دارد.
اگر نمودار معادله درجه ۲ محور x ها را در هیچ نقطه ای قطع نکند آن معادله درجه ۲ ، ریشه حقیقی ندارد.
تا این جا در مورد معادله درجه ۲ صحبت کردیم. در این قسمت می خواهیم در مورد حل معادله درجه ۲ توضیح بدهیم.
برای حل معادله درجه ۲ راه های مختلف و متنوعی وجود دارد: روش دلتا یا فرمول کلی ، حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه ، روش خوارزمی ، روش مربع کامل ، روش هندسی ، روش اتحاد جمله مشترک و …
در این جا تعدادی از این روش ها را معرفی کرده و از آن ها نمونه سوال و مساله حل می کنیم.
برای درک بهتر ، توصیه می کنیم حتما ویدئوهای موجود در این مقاله را ببینید.
حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه
روش تجزیه ، بر پایه اتحادها ، فاکتور گیری و ساده سازی استوار است. در این روش معادله درجه ۲ را با استفاده از روش هایی که ذکر خواهیم کرد به صورت حاصلضرب دو معادله درجه یک در هم در می آوریم و این دو معادله را جداگانه حل می کنیم. جواب های این دو معادله ریشه های معادله درجه ۲ می باشند.
روش تجزیه ، بر پایه ی اتحادها ، روش فاکتور گیری در ریاضی و ساده سازی استوار است. اصول کلی این روش را در زیر می توانید ببینید.
نکته: معادلات درجه دومی که قابل تجزیه به دو معادله درجه اول نباشند ، جواب ندارند.
تجزیه به روش فاکتور گیری
زمانی می توانیم معادله درجه ۲ را به روش فاکتورگیری تجزیه کنیم که ضریب c در معادله برابر صفر باشد. آموزش فاکتور گیری در ریاضی ، یکی از اصول مهم و اولیه می باشد که می توانید آن را در همین سایت ببینید. در این حالت یکی از جواب ها صفر خواهد بود. اصول کلی حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه به صورت زیر است:
مثال: معادله درجه ۲ زیر را به روش تجزیه حل نمایید.
تجزیه به کمک اتحادها
در این روش معادله درجه ۲ را به کمک یکی از اتحادها ، مثل اتحاد مربع دوجمله ای و اتحاد جمله مشترک و اتحاد مزدوج به دو معادله درجه اول تجزیه می کنیم. اتحادهایی مثل اتحاد چاق و لاغر در این روش کاربرد ندارند. چون جملات سمت چپ اتحاد چاق و لاغر از درجه ۳ هستند نه از درجه ۲.
از اتحاد چاق و لاغر می توان برای حل معادله درجه ۳ در حالت های خاص استفاده کرد.
به عنوان مثال اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:
مثال: معادله درجه ۲ زیر را به روش تجزیه حل نمایید.
از اتحاد جمله مشترک کمک می گیریم.
در ویدئوی زیر می توانید حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه را به همراه تعداد زیادی نمونه سوال معادله درجه دوم ببینید.
حل معادله درجه ۲ به روش ریشه گیری ( ریشه زوج )
در بالا گفتیم شکل کلی معادله درجه ی ۲ به صورت زیر است:
برای این که بتوانیم معادله درجه ۲ را از روش ریشه زوج ، حل کنیم باید ضریب b حتما مساوی صفر باشد.
یعنی روش ریشه زوج فقط برای حالت های خاص b=0 قابل استفاده است.
پس می توانیم روش ریشه زوج را در قاعده کلی زیر خلاصه کنیم:
مثال: معادلات درجه دوم زیر را به روش ریشه گیری حل نمایید.
انواع نمونه سوال معادله درجه دوم را می توانید در این ویدئو و سایر ویدئوهای این مقاله ببینید.
حل معادله درجه ۲ به روش مربع کامل
این روش یکی از کارامدترین روش ها برای حل معادلات درجه ی ۲ است.
در این روش معادله درجه ی ۲ را با اضافه کردن و کم کردن یک جمله مناسب ، به اتحاد مربع دو جمله ای تبدیل می کنیم. پس از گرفتن ریشه ی دوم ، معادله ی حاصل را که اکنون یک معادله درجه اول می باشد حل می کنیم.
مثال : معادله زیر را به روش مربع کامل کردن ، حل کنید.
تدرس کامل و نمونه سوالات روش مربع کامل را در ویدئوی زیر ببینید.
حل معادله درجه ۲ به روش فرمول کلی یا روش دلتا
این روش بر مبنای روش مربع کامل طراحی شده می باشد. به این ترتیب که از روی فرم کلی معادله درجه ۲ ، یک فرمول بدست می آوریم که در حالت کلی دو جواب به ما می دهد. با قرار دادن ضریب های معادله درجه ۲ در این فرمول می توان جواب ها را بدست آورد. در واقع این روش پرکاربردترین و سر راست ترین روش برای حل معادله درجه ۲ است.
روش کلی اثبات و بدست آوردن فرمول دلتا در ریاضی را در ۵ مرحله می توان اثبات کرد که در زیر می توانید ببینید.
همان طور که می بینید دو جواب برای x بدست آوردیم.
بنابر این ریشه های یک معادله درجه ۲ را می توانیم با استفاده از فرمول زیر بدست آوریم.
برای سادگی در نوشتن ، عبارت زیر رادیکال را با حرف یونانی دلتای بزرگ نشان می دهیم.
عبارت همان طور که می بینید علامت دلتا در ریاضی یک مثلث است. به دلیل وجود همین دلتا ، این روش حل معادله درجه ۲ ، به روش دلتا نیز معروف است.
تعداد ریشه های معادله درجه ۲ به علامت دلتا بستگی دارد. برای علامت دلتا در ریاضی ، سه حالت وجود دارد:
حالت اول: دلتا مثبت است. در این حالت معادله دو ریشه دارد.
حالت دوم: دلتا برابر صفر است. در این حالت معادله فقط یک ریشه دارد.
حالت سوم: دلتا منفی است. در این حالت معادله ریشه حقیقی ندارد.
شکل نمودار معادله درجه ۲ را برای هر کدام از علامت های دلتا می توانید در زیر ببینید.
تدریس کامل روش دلتا را به همراه تعداد زیادی نمونه سوال معادله درجه دوم در ویدئوی زیر ببینید.
سهمی
مبحث سهمی در پایه های مختلف مثل ریاضی دهم ، ریاضی دهم انسانی ، ریاضی سال سوم انسانی ، حسابان سال سوم ، حسابان یازدهم و ریاضی اول دبیرستان مطرح است و در ریاضی کنکور بسیار مهم است.
به نمودار معادله درجه ۲ ، سهمی گفته می شود. شاخه های سهمی رو به بالا یا رو به پایین هستند.
رأس سهمی
نقطه ای که جهت پیچش سهمی را عوض می کند ، رأس سهمی نامیده می شود.
هر سهمی دارای یک رأس و یک محور تقارن است. بالا یا پایین بودن راس سهمی ، تابعی از ضریب a است.
در تصویر بالا سهمی دارای راس کمینه ( مینیمم ) و در شکل پایین دارای راس بیشینه ( ماگزیمم ) است.
مثال : نمودار کدام یک از معادلات زیر دارای رأس بیشینه و کدام یک دارای رأس کمینه است؟
محور تقارن سهمی
محور تقارن ، خطی عمود بر محور x ها است که از رأس سهمی می گذرد و سهمی را به دو نیمه چپ و راست تقسیم می کند.
معادله محور تقارن سهمی از رابطه زیر بدست می آید:
مثال: محور تقارن سهمی های زیر را بدست آورید.
نکته: گاهی اوقات ، معادله سهمی به صورت زیر ارائه می شود : 
چنین سهمی ای ، رأسی به مختصات (h,k) و محور تقارنی با معادله x=h دارد .
مثال: در هر یک از سهمی های زیر ، رأس و محور تقارن را مشخص کرده و سپس آن را رسم کنید.
مختصات رأس سهمی در فرم استاندارد
در بالا گفتیم مولفه x راس سهمی بر اساس ضریب های a و b از رابطه زیر بدست می آید.
با قرار دادن مقدار x فوق در معادله درجه ۲ مولفه y راس سهمی هم بدست می آید:
مثال: مختصات رأس سهمی زیر را تعیین کنید.
رسم نمودار سهمی
رسم نمودار سهمی را در ۴ مرحله انجام می دهیم.
محاسبه مختصات رأس سهمی
مختصات دو نقطه در طرفین رأس را بدست آوریم .
نقاط را در صفحه تعیین کرده و به هم وصل کنیم.
مثال: نمودار سهمی های زیر را رسم کنید .
سهمی و ریشه های معادله
با رسم سهمی می توانیم ریشه های معادله را تعیین کنیم. کافی است به خاطر داشته باشیم که محل قطع محور x ها ریشه ( یا ریشه های ) معادله درجه ۲ است.
برای یادگیری کامل مبحث سهمی و مشاهده و حل نمونه سوال معادله درجه دوم ویدئوی آموزشی زیر را ببینید.
مجموع و حاصل ضرب ریشه ها
مجموع ریشه ها
مبحث مجموع و حاصل ضرب ریشه ها ، بیشتر در کتاب ریاضی سال سوم انسانی ، حسابان یازدهم و حسابان سوم دبیرستان مطرح است.
در بالا گفتیم معادله درجه ۲ در کلی ترین حالت دارای دو ریشه است. اگر این دو ریشه را با هم جمع کنیم ، مجموع ریشه ها در حالت کلی بدست می آید.
با توجه به نتایج بدست آمده ، جواب های دانش آموز اشتباه می باشند.
حاصلضرب ریشه ها
برای محاسبه حاصلضرب ریشه های معادله درجه ۲ ، دو جوابی را که برای حالت کلی بدست آوردیم در هم ضرب و ساده می کنیم.
این دو نتیجه را هم باید به خاطر بسپارید و در مواقع لزوم از آن ها استفاده کنید.
تعیین معادله درجه ۲ از روی ریشه ها
این بخش ، عکس قسمت قبلی است. یعنی با داشتن ریشه های معادله درجه ۲ و با استفاده از اتحاد جمله مشترک می توان معادله درجه ۲ مورد نظر را بدست آورد.
دستورالعمل کلی به صورت زیر است:
می توانید نتیجه ها را به خاطر بسپارید و از آن استفاده کنید یا این که طبق دستورالعمل بالا مستقیما عملیات ضرب ۴ جمله را در هم انجام دهید.
مثال: معادله درجه دومی بنویسید که ریشه های آن ۳- و ۴ باشد.
