فعالسازی درآمدزایی از کانال یوتیوب

دانلود جزوه کامل ماتریس ها ، نحوه محاسبه معکوس ماتریس و …

با دانلود جزوه کامل ماتریس ها از سایت خلایق از آموزش رایگان بهره مند شوید.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها – یکی از مفاهیم پر کاربرد در ریاضیات مفهوم ماتریس است. ماتریس ها در علومی مثل ریاضی ، فیزیک و … نقش کلیدی ایفا می کنند. اموزش کامل ماتریس در این مقاله نمی گنجد اما در این جا سعی کرده ایم با معرفی مفهوم ماتریس در سطح مقدماتی ، قدمی هر چند کوچک در راه اعتلای علمی دانش آموزان این مرز و بوم برداریم.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها – اموزش کامل ماتریس

ویدئوی اول

آشنایی با مفهوم ماتریس

ماتریس ها آرایه هایی از اعداد هستند که در ریاضیات برای انجام مقاصد مختلف به کار می روند.

مثلا از آن ها می توانیم برای حل دستگاه n معادله و n مجهول استفاده کنیم.

در زیر می توانید یک دستگاه شامل n معادله و  n مجهول را ببینید.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

با محاسبه ماتریس معکوس ضرایب و ضرب آن از سمت چپ در معادله ، ماتریس مجهولات بدست می آید.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

این مثال را در اول مقاله آوردیم تا همین اول با اهمیت ماتریس ها در ریاضیات آشنا شوید.

ماتریس ها را با حروف بزرگ انگلیسی نام گذاری می کنند .

مثال

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

برای هر ماتریس ، یک ویژگی به نام مرتبه تعریف می شود .

مرتبه ماتریس را به صورت ضرب تعداد سطرها در ستون ها ، در پایین و سمت راست ماتریس نشان می دهند .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

 

 

مثال

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ماتریس مربعی : در صورتی که تعداد سطرها و ستون های یک ماتریس با هم برابر باشند به آن ماتریس ، مربعی می گوییم .

درایه : به هر یک از اعضای درون یک ماتریس ، یک درایه ماتریس می گویند .

مثال:دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ماتریس سطری : به ماتریسی که فقط یک سطر  دارد ماتریس سطری می گویند .

ماتریس ستونی : به ماتریسی که فقط یک ستون  دارد ماتریس ستونی می گویند .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

 

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ماتریس صفر : ماتریسی است که همه ی درایه های آن صفر است .

چند نمونه از ماتریس صفر

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

قطر اصلی : در ماتریس های مربعی ، تمام درایه هایی که به صورت زیر قرار می گیرند درایه های روی قطر اصلی ماتریس نامیده می شوند .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

مثال : در ماتریس های مربعی زیر ، درایه های روی قطر اصلی را مشخص کنید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

قطر فرعی : در هر ماتریس مربعی به درایه هایی که به صورت زیر قرار می گیرند ، درایه های روی قطر فرعی می گویند .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ماتریس قطری : ماتریسی است که به جز اعضای روی قطر اصلی آن ، بقیه ی اعضایش صفر باشند .

مثال : چند نمونه از ماتریس های قطری

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ماتریس واحد (همانی یکه)

ماتریسی قطری است که همه ی درایه های روی قطر اصلی آن یک و سایر درایه هایش صفر باشد.

مثال

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نکته : ویژگی مهم ماتریس واحد این است که در هر ماتریسی که ضرب شود ، تغییری در حاصل آن ماتریس ایجاد نمی شود.

ویدئوی دوم:

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

عملیات جبری روی ماتریس ها

تساوی ماتریس ها : دو ماتریس با هم مساوی اند ، هرگاه :

اولا: هر مرتبه باشند.

ثانیا:تمام درایه های آن ها نظیر به نظیر ، برابر باشند.

مثال

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

مثال : مقدار n را به گونه ای تعیین کنید که ۲ ماتریس زیر با هم مساوی باشند .

 

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

جمع و تفریق ماتریس ها

برای جمع و تفریق ماتریس ها ، حتما باید ۲ ماتریس مورد نظر ، هم مرتبه باشند . برای جمع و تفریق ماتریس ها ، درایه های  ۲ ماتریس را نظیر به نظیر با هم جمع یا تفریق می کنیم.

مثال : ۲ ماتریس های K و A را با هم جمع و تفریق کنید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

 ضرب عدد در ماتریس

هر عدد حقیقی را می توان در یک ماتریس ضرب کرد .برای این منظور ، باید آن عدد را در تک تک درایه های ماتریس ضرب کنیم .

مثال : اعداد ۲ و صفر را در ماتریس زیر ضرب کنید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نتیجه : از ضرب عدد صفر در هر ماتریس دلخواه ، ماتریس صفر بدست می آید .

قرینه ی ماتریس

در حالتی که عدد ( ۱-) را در یک ماتریس  ضرب کنیم ، ماتریسی به دست می آید که به آن قرینه ماتریس اولیه می گوییم .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نکته : هرگاه یک ماتریس  را با قرینه اش جمع کنیم ماتریس صفر به دست می آید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

مثال : قرینه ی ماتریس زیر را بدست آورید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ضرب ماتریس ها

برای اینکه بتوانیم ۲ ماتریس را در هم ضرب کنیم ، باید تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشند .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نتیجه : اگر ماتریس A در ماتریس B قابل ضرب باشد ، ماتریس B الزاما قابل ضرب در A نخواهد بود .

مثال : ۲ ماتریس P  و Q به صورت زیرند :

 دانلود جزوه کامل ماتریس ها

الف : آیا می توان ماتریس P را در ماتریس Q ضرب کرد ؟

پاسخ

بله. چون تعداد ستون های ماتریس P با تعداد سطرهای ماتریس Q برابر است.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ب : آیا می توان ماتریس Q را در ماتریس P ضرب کرد ؟

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

تعداد ستون های ماتریس P با تعداد سطرهای ماتریس Q برابر نیست پس ضرب فوق غیر قابل انجام است.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

مثال : دو ماتریس M و L به صورت زیرند:

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

سوال:  الف – آیا می توان ماتریس M را در L ضرب کرد؟

پاسخ: بله

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ب – آیا می توان ماتریس L را در M ضرب کرد؟

پاسخ: بله

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دانلود جزوه کامل ماتریس ها  

ویدئوی سوم

وارون ماتریس ( روش حل ماتریس معکوس )

در این بخش با روش حل ماتریس معکوس آشنا می شویم. اما قبل از این کار لازم است با چند تعریف و مفهوم مهم آشنا شویم.

نحوه محاسبه معکوس ماتریس

قبل از هر کاری در این زمینه ، باید ماتریس واحد را یادآوری کنیم.

ماتریس واحد ( همانی – یکه ) : ماتریسی مربعی که است درایه های روی قطر اصلی آن یک و سایر درایه هایش صفر هستند .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

ویژگی های ماتریس واحد

اگر ماتریس واحد را در یک ماتریس مربعی ضرب کنیم ، حاصل برابر خود ماتریس خواهد شد .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

اگر ماتریسی در وارون خود ضرب شود حاصل ماتریس واحد خواهد بود .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

برای محاسبه معکوس یک ماتریس دو در دو ، دومین چیزی که باید یاد بگیرید مفهوم دترمینان است.

دترمینان

یکی از اولین مطالبی که در رابطه با یک ماتریس مربعی معرفی می شود دترمینان است. در زیر می توانید تعریف دترمینان ماتریس دو در دو را ببینید.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

معرفی دترمینان ماتریس ۳ در ۳ و بالاتر ، از سطح این مقاله دبیرستانی بالاتر است. احتمالا در آینده ای نه چندان دور به تدریس این موضوع بپردازیم.

مثال : دترمینان ماتریس های زیر را بدست آورید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

مثال : مقدار X را طوری بدست آورید که دترمینان ماتریس E برابر ۲ شود .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

در مقالات بعدی سعی می کنیم دترمینان ماتریس ۳ در ۳ و مرتبه های بالاتر را هم معرفی کنیم. برای دترمینان ماتریس ۳ در ۳ و مرتبه های بالاتر یک رابطه کلی وجود دارد.

مراحل محاسبه وارون ماتریس

حالا وقت آن است که نحوه محاسبه معکوس ماتریس را یاد بگیریم. برای یک ماتریس مربعی دو در دو ، ماتریس معکوس از رابطه زیر بدست می آید:

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

گام اول : دترمینان ماتریس را بدست می آوریم .

گام دوم : جای درایه های روی قطر اصلی را با هم عوض می کنیم .

گام سوم : درایه های روی قطر فرعی را قرینه می کنیم .

گام چهارم : معکوس دترمینان را در ماتریس جدید ضرب می کنیم .

نکته ۱: مفاهیم دترمینان و ماتریس وارون فقط برای ماتریس های مربعی ، معنا دارند .

نکته ۲ : برای اینکه یک ماتریس ، وارون داشته باشد ، باید دترمینان آن مخالف صفر باشد .

نحوه محاسبه معکوس ماتریس را آموختیم. اما با نگاهی به رابطه فوق متوجه یک حالت خاص می شویم. مخرج کسر نمی تواند صفر باشد این یعنی این که دترمینان ماتریس A باید مخالف صفر باشد. از این جا یک نتیجه مهم می گیریم.

نتیجه : ماتریسی که دترمینانش برابر صفر باشد ، وارون پذیر نیست .

روش حل ماتریس معکوس

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نحوه محاسبه معکوس ماتریس

مثال : ماتریس زیر به ازای چه مقادیری از اعداد حقیقی وارون پذیر است ؟

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ : برای اینکه یک ماتریسی وارون پذیر باشد ، باید دترمینانش مخالف صفر باشد .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نتیجه : این ماتریس به ازای همه اعداد حقیقی به جز  ۱ و ۳-  وارون پذیر است . چون این ۲ عدد دترمینان ماتریس را برابر صفر می کنند .

نحوه محاسبه معکوس ماتریس

ویدئوی چهارم

حل دستگاه دو معادله و دو مجهول با استفاده از ماتریس

گفتیم یک دستگاه شامل n معادله و n مجهول را می توان به کمک ماتریس ها حل کرد.

در این بخش روش حل دستگاه دو معادله و دو مجهولی را آموزش می دهیم. برای دستگاه های از مرتبه های بالاتر هم باید به همین روش عمل کنیم . معمولا برای حل این گونه دستگاه ها از کامپیوتر کمک می گیرند به این صورت که روش حل ماتریسی را در قالب یک برنامه کامپیوتری می نویسند و آن را به کامپیوتر می دهند تا آن را حل کند. در واقع برای حل این ماتریس ها از روش های عددی و از زبان های برنامه نویسی استفاده می کنند.

به دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر نگاه کنید.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

می توان این دستگاه را به کمک ماتریس ها به صورت معادله ماتریسی زیر نوشت:

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

معادله ماتریسی فوق می گوید از ضرب ماتریس ضرایب در ماتریس مجهولات ، ماتریس عددهای سمت راست بدست می آید. بنابراین اگر وارون ماتریس ضرایب را بدست آورده و از سمت چپ در معادله ماتریسی ضرب کنیم ، ماتریس مجهولات بدست می آید.

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

نتیجه : ماتریس مجهولات برابر است با حاصل ضرب ماتریس وارون A در ماتریس C .

اگر ماتریس A دارای وارون نباشد ، دستگاه دارای جواب نیست .

مثال : دستگاه ۲ معادله و ۲ مجهول زیر را به کمک روش ماتریسی که توضیح دادیم حل کنید .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

دترمینان ماتریس ۳ در ۳

مثال : به کمک ماتریس ها نشان دهید که دستگاه ۲ معادله و ۲ مجهول زیر جواب ندارد .

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

مثال : برای این که دستگاه زیر دارای جواب حقیقی باشد ، a باید در چه محدوده ای از اعداد حقیقی قرار داشته باشد ؟

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

پاسخ

دانلود جزوه کامل ماتریس ها

با دانلود جزوه کامل ماتریس ها از سایت خلایق از آموزش رایگان بهره مند شوید.

دترمینان ماتریس ۳ در ۳ , روش حل ماتریس معکوس , نحوه محاسبه معکوس ماتریس , ماتریس در ریاضی , اموزش کامل ماتریس , دانلود جزوه کامل ماتریس ها

اگر مطلب فوق به‌درد‌بخور است، با بقیه به اشتراک بگذارید تا از آن استفاده کنند:
بیشتر بخوانید