دستگاه مختصات و معادله خط

دستگاه مختصات و معادله خط – ریاضی اول دبیرستان – کتاب های یازدهم ( ریاضی یازدهم تجربی و حسابان یازدهم ) – ریاضی نهم

 آشنایی با دستگاه مختصات

یک دستگاه مختصات از دو محور عمود بر هم تشکیل شده است که محور افقی را محور x ( محور طول ها ) و محور عمودی را محور y ( محور عرض ها ) می نامیم.

هر نقطه روی این دستگاه  را می توانیم به صورت ترکیبی از مختصه های x و y بنویسیم.

مختصات یک نقطه را روی محورهای مختصات به اشکال گوناگونی نشان می دهند.

نکته مهم ۱: در نوشتن مختصات یک نقطه ، جای مختصه های x و y  را نباید با هم اشتباه بنویسیم.

نکته مهم ۲ :  با داشتن دو نقطه در صفحه می توانیم معادله خط گذردنده از آن دو نقطه را بنویسیم.

ویژگی های مهم دستگاه مختصات

محل قطع دو محور طول ها و عرض ها مبدا مختصات نامیده می شود و با حرف O بزرگ انگلیسی نمایش داده می شود.

صفحه مختصات از چهار قسمت که هر کدام یک ربع نامیده می شوند تشکیل می شود.

هر کدام از ربع های صفحه مختصات ویژگی های خاص خود را دارند.

مثال: مختصات نقاط B و C در دستگاه مختصات زیر نمایش داده شده اند.

نکته: عرض نقاطی که روی محور طول ها قرار می گیرند همیشه صفر است.

نکته: طول نقاطی که روی محور عرض ها قرار می گیرند همیشه صفر است.

شیب و نحوه محاسبه آن

سوال: چگونه شیب سطوح مختلف را با هم مقایسه کنیم؟

پاسخ: به وسیله ضریبی به نام شیب

مثال: شیب سطح زیر را حساب کنید.

پاسخ:

محاسبه شیب خط

فرض کنید یک خط راست داریم. می خواهیم شیب این خط راست را محاسبه کنیم. روش محاسبه شیب به صورت زیر است.

نتیجه: فقط با داشتن دو نقطه روی یک خط راست می توانیم شیب آن خط را محاسبه کنیم.

حالت های خاص برای شیب خط راست

خط افقی

نتیجه: شیب خط افقی همیشه صفر است.

عرض نقاطی که روی یک خط افقی قرار دارند با هم برابر است. همین باعث می شود در رابطه شیب ، صورت کسر صفر شده و شیب این نقاط همیشه صفر باشد

خط عمودی

طول نقاطی که روی یک خط عمودی قرار دارند با هم برابر است. همین باعث می شود در رابطه شیب ، مخرج کسر صفر شده و شیب این نقاط همیشه بی نهایت باشد.

نتیجه: شیب یک خط عمودی بی نهایت است.

خط های با شیب منفی

خط هایی که با محور x ها زاویه منفرجه ( زاویه بزرگ تر از ۹۰ درجه ) می سازند شیب منفی دارند.

اثبات موضوع را می توانید در ویدئوی پایین صفحه  ببینید.

نتیجه گیری کلی: هر گاه امتداد خط راست از ربع های اول و سوم بگذرد شیب آن خط مثبت است. به طور عکس ، اگر امتداد خط راست از ربع های دوم و چهارم بگذرد دارای شیب منفی است.

مثال: در شکل زیر یک خط به همراه مختصات دو نقطه از آن داده شده است. شیب خط را محاسبه کنید.

معادله خط راست

در حالت کلی معادله خط راست به صورت زیر است.

در این معادله x متغیر و ضریب های m و  b اعدادی حقیقی اند. البته با این شرط که m همیشه مخالف صفر است.

ضریب m  همان شیب معادله و  b عرض از مبدا خط نامیده می شود.

عرض از مبدا یک خط ، فاصله محل قطع آن خط را با محور y ها ، از مبدا مختصات نشان می دهد.

رسم نمودار خط راست

برای رسم نمودار یک خط راست ، باید در معادله آن به x دو مقدار متفاوت داده و y وابسته به هر x  را محاسبه کنیم.

سپس این زوج اعداد را باید به صورت یک مجموعه شامل دو نقطه در صفحه تعیین کرده و با خطی راست به هم وصل کنیم.

مثال: نمودار خط راستی به معادله y=2x+1  را در صفحه مختصات رسم کنید.

پاسخ:

نکته: خطوط راستی که در آن ها ضریب b یا همان عرض از مبدا صفر است ، از مبدا مختصات می گذرند.

معادله درجه صفر

معادلاتی که در آن ها y برابر یک عدد حقیقی است معادله درجه صفر نامیده می شوند.

نمودار این خطوط ، خطی با شیب صفر و موازی محور x ها است.

فرم دیگر معادله خط راست

معادله خط راست را به صورت زیر هم می توان نشان داد:

اثبات این رابطه را می توانید به طور مفصل در فایل ویدئویی آخر مقاله ببینید.

در این رابطه x0 و y0 مختصات یک نقطه دلخواه از خط راست هستند.

m هم شیب خط راست است. بنابراین اگر شیب و مختصات یک نقطه دلخواه از یک خط را داشته باشیم می توانیم معادله آن خط راست را بدست آوریم.

نمونه سوالات مربوط به این معادله را می توانید در فایل ویدئویی پایان مقاله ببینید.

شرط موازی بودن دو خط

برای اینکه دو خط با هم موازی باشند باید شیب آنها با هم مساوی باشد.

مثال: دو خط زیر با هم موازی هستند.

خط های عمود بر هم

شرط عمود بودن دو خط این است که حاصل ضرب شیب های آن هادر هم برابر  ۱- باشد.

نمونه سوالات مربوط به خطوط عمود بر هم را در فایل ویدئویی پایان صفحه ببینید.