آموزش لگاریتم به زبان ساده – فصل ۵ ریاضی ۱۱ تجربی و فصل ۳ حسابان یازدهم
آموزش لگاریتم به زبان ساده به همراه آموزش قوانین لگاریتم ، خواص لگاریتم و حل نمونه سوالات لگاریتم
آموزش لگاریتم به زبان ساده – بسیاری از وقایعی که در طبیعت اتفاق می افتند توابعی لگاریتمی یا نمایی هستند. مثلا در زیست شناسی ، تکثیر سلول های بنیادی رفتاری نمایی دارد یا برای بیان کمیت فیزیکی بلندی صوت از مفهوم لگاریتم استفاده می کنیم. بنابراین لازم است با توابع نمایی و لگاریتمی – هرچند در حد مقدماتی – آشنا شویم.
ویدئوی اول:
آشنایی با توابع نمایی
توابع نمایی
مثال : دو مورد از فرایندهای فیزیکی و مهندسی که بر حسب توابع نمایی توصیف می شوند عبارتند از : شارژ شدن و تخلیه ی خازن ها ، پر شدن و تخلیه ی مخزن های گاز.
همان طور که در بالا اشاره کردیم ، مثالی از کاربردهای تابع نمایی در زیست شناسی تقسیم سلولی است. فرآیند تقسیم ، از یک سلول در مرحله صفرام شروع شده و هر سلول مرتبا یه دو سلول تقسیم می شود.
به این ترتیب تعداد سلول ها در مرحله n اُم از رابطه زیر بدست می آید.
سؤال : تعداد سلول ها در مرحله ی نهم چند تا است ؟
پاسخ
سؤال : تعداد سلول ها در کدام مرحله ۲۰۴۸ تا است ؟
پاسخ
اگر با استفاده از مقادیر فوق ، نمودار تابع نمایی را رسم کنیم به صورت زیر در می آید:
هر خط افقی موازی محور طول ها نمودار فوق را حداکثر در یک نقطه قطع می کند بنابراین نتیجه می گیریم:
مثال:
دامنه و برد توابع نمایی
برای درک بهتر موضوع ، اول نمودار یک تابع نمایی دلخواه را رسم می کنیم.
اگر در نما به جای x داشته باشیم x- ، نمودار به صورت زیر در می آید:
با دقت در نمودارهای فوق در مورد دامنه و برد توابع نمایی به نتایج زیر می رسیم:
ویدئوی دوم:
انتقال توابع نمایی در راستای محورها
برای درک بهتر موضوع ، با چند مثال شروع می کنیم.
پاسخ
حالا ببینید اگر توابع فوق را یک بار در عددی بین صفر تا یک و بار دیگر در عددی بزرگ تر از یک ضرب کنیم برای نمودار چه اتفاقی می افتد.
یافته های خود را در قالب نتیجه زیر بیان می کنیم.
باز هم کارمان را با یک مثال شروع می کنیم.
پاسخ
نتیجه:
در بالا قید کردیم پایه a عددی مثبت اما مخالف یک است. حالا می خواهیم بررسی کنیم اگر مقدار a عددی بین صفر تا یک باشد چه اتفاقی می افتد.
به مثال زیر توجه کنید:
پاسخ
ویدئوی سوم
آشنایی با توابع لگاریتمی
کاربردهای لگاریتم : تراز شدت صوت – زلزله – شکافت هسته ای
نمودار تابع نمایی نشان می دهد توابع نمایی یک به یک هستند ، بنابراین دارای تابع وارونند .
وارون توابع نمایی ، توابع لگاریتمی نامیده می شوند .
یک بار دیگر به مثال تقسیم سلولی بر می گردیم.
سؤال : آیا می توانیم محاسبه کنیم که پس از یک مدت خاص ، چه تعداد سلول بوجود آمده است ؟
پاسخ : بله – با استفاده از وارون تابع نمایی ( تابع لگاریتمی )
برای محاسبه ی وارون تابع نمایی ، کافی است در آن جای x و y را با هم عوض کنیم.
دامنه و برد توابع لگاریتمی
دامنه توابع لگاریتمی و برد آن ها ، وارون دامنه و برد توابع نمایی است.
رسم تابع لگاریتمی
برای رسم یک تابع لگاریتمی قبل از هر چیز باید دامنه ی آن تابع را بدانیم .
پس از محاسبه ی دامنه ، به متغیرها از دامنه ، مقدار می دهیم .
مثال : دامنه توابع لگاریتمی زیر را تعیین کرده و نمودار مربوط به آن ها را رسم کنید .
ویدئوی چهارم
محاسبه ی لگاریتم اعداد
برای محاسبه ی لگاریتم اعداد از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.
مثال : حاصل این عبارت ها را به دست آورید.
محاسبه ی لگاریتم اعداد همیشه کار ساده ای نیست و در بیشتر موارد مجبوریم از ماشین حساب استفاده کنیم .
مثال
حل معادلات لگاریتمی
منظور از حل یک معادله ی لگاریتمی ، محاسبه ی کلیه ی x هایی است که به ازای آن ها معادله ی لگاریتمی برقرار باشد .
مثال:
مثال : معادلات لگاریتمی فوق را حل کنید .
توجه : قبل از حل معادلات لگاریتمی باید اول دامنه توابع لگاریتمی را تعیین کنیم. بعد از بدست آوردن جواب ها باید مطمئن شویم جواب ها متعلق به دامنه هستند یا نه.
جواب هایی که متعلق به دامنه نباشند فاقد ارزش هستند.
ویدئوی پنجم
چند قضیه ی مهم در مورد لگاریتم ها
معادلات لگاریتمی که در بالا حل کردیم همه ساده و پیش پا افتاده بودند. برای حل معادلات لگاریتمی لازم است با تعدادی از قوانین اصلی لگاریتم آشنا شویم.
در ادامه چند تا از قوانین اولیه لگاریتم ها را اثبات کرده و برای نشان دادن کاربرد آن ها مساله حل می کنیم.
نکته : لگاریتم هر عدد در پایه ی خودش برابر یک است .
اثبات
نکته : لگاریتم عدد یک در پایه ی هر عدد دیگر ، برابر با صفر است .
مثال : حاصل این لگاریتم ها را به ساده ترین صورت ممکن بنویسید .
حل معادلات لگاریتمی با استفاده از قضایا
گاهی به کمک یک یا چند قضیه می توانیم یک معادله را حل کنیم .
مثال : با استفاده از قضیه ی اول این دو معادله ی لگاریتمی را حل کنید .
مثال : معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید . (حل به عده خودتان)
نمونه سوالات لگاریتم را در ویدئوهای زیر ببینید.
نمونه سوالات لگاریتم
