آموزش لگاریتم به زبان ساده – فصل ۵ ریاضی ۱۱ تجربی و فصل ۳ حسابان یازدهم

آموزش لگاریتم به زبان ساده به همراه آموزش قوانین لگاریتم ، خواص لگاریتم و حل نمونه سوالات لگاریتم

آموزش لگاریتم به زبان ساده – بسیاری از وقایعی که در طبیعت اتفاق می افتند توابعی لگاریتمی یا نمایی هستند. مثلا در زیست شناسی ، تکثیر سلول های بنیادی رفتاری نمایی دارد یا برای بیان کمیت فیزیکی بلندی صوت از مفهوم لگاریتم استفاده می کنیم. بنابراین لازم است با توابع نمایی و لگاریتمی  – هرچند در حد مقدماتی – آشنا شویم.

ویدئوی اول:

آشنایی با توابع نمایی

توابع نمایی

مثال : دو مورد از فرایندهای فیزیکی و مهندسی که بر حسب توابع نمایی توصیف می شوند عبارتند از : شارژ شدن و تخلیه ی خازن ها  ، پر شدن و تخلیه ی مخزن های گاز.

همان طور که در بالا اشاره کردیم ، مثالی از کاربردهای تابع نمایی در زیست شناسی تقسیم سلولی است. فرآیند تقسیم ، از یک سلول در مرحله صفرام شروع شده و هر سلول مرتبا یه دو سلول تقسیم می شود.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

به این ترتیب تعداد سلول ها در مرحله n اُم از رابطه زیر بدست می آید.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

سؤال : تعداد سلول ها در مرحله ی نهم چند تا است ؟

پاسخ

آموزش لگاریتم به زبان ساده

سؤال : تعداد سلول ها در  کدام مرحله ۲۰۴۸ تا است ؟

پاسخ

آموزش لگاریتم به زبان ساده

اگر با استفاده از مقادیر فوق ، نمودار تابع نمایی را رسم کنیم به صورت زیر در می آید:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

هر خط افقی موازی محور طول ها نمودار فوق را حداکثر در یک نقطه قطع می کند بنابراین نتیجه می گیریم:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

 

آموزش لگاریتم به زبان ساده

 

 

 

آموزش لگاریتم به زبان ساده

مثال:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

 دامنه و برد توابع نمایی

برای درک بهتر موضوع ، اول نمودار یک تابع نمایی دلخواه را رسم می کنیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

 

آموزش لگاریتم به زبان ساده آموزش لگاریتم به زبان ساده

اگر در نما به جای x داشته باشیم x-  ، نمودار به صورت زیر در می آید:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

با دقت در نمودارهای فوق در مورد دامنه و برد توابع نمایی به نتایج زیر می رسیم:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

ویدئوی دوم:

انتقال توابع نمایی در راستای محورها

آموزش لگاریتم به زبان ساده

برای درک بهتر موضوع ، با چند مثال شروع می کنیم.

مطلب مرتبط:  همه چیز درباره معادله درجه دوم و حل معادله درجه 2

آموزش لگاریتم به زبان ساده

پاسخ

آموزش لگاریتم به زبان ساده

حالا ببینید اگر توابع فوق را یک بار در عددی بین صفر تا یک و بار دیگر در عددی بزرگ تر از یک ضرب کنیم برای نمودار چه اتفاقی می افتد.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

یافته های خود را در قالب نتیجه زیر بیان می کنیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

حل معادلات نمایی

آموزش لگاریتم به زبان ساده

باز هم کارمان را با یک مثال شروع می کنیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

پاسخ

آموزش لگاریتم به زبان ساده

نتیجه:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم دوم دبیرستان

آموزش لگاریتم به زبان ساده

در بالا قید کردیم پایه a عددی مثبت اما مخالف یک است. حالا می خواهیم بررسی کنیم اگر مقدار a عددی بین صفر تا یک باشد چه اتفاقی می افتد.

به مثال زیر توجه کنید:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

پاسخ

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

حل معادلات نمایی

ویدئوی سوم

آموزش لگاریتم دوم دبیرستان

آشنایی با توابع  لگاریتمی

کاربردهای لگاریتم : تراز شدت صوت – زلزله – شکافت هسته ای

نمودار تابع نمایی نشان می دهد توابع نمایی یک به یک هستند ، بنابراین دارای تابع وارونند .

وارون توابع نمایی ، توابع لگاریتمی نامیده می شوند .

یک بار دیگر به مثال تقسیم سلولی بر می گردیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

سؤال : آیا می توانیم محاسبه کنیم که پس از یک مدت خاص ، چه تعداد سلول بوجود آمده است ؟

پاسخ : بله – با استفاده از وارون تابع نمایی ( تابع لگاریتمی )

آموزش لگاریتم به زبان ساده

برای محاسبه ی وارون تابع نمایی ، کافی است در آن جای x و y را با هم عوض کنیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

دامنه و برد توابع لگاریتمی

دامنه توابع لگاریتمی و برد آن ها ، وارون دامنه و برد توابع نمایی است.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

رسم تابع لگاریتمی

برای رسم یک تابع لگاریتمی قبل از هر چیز باید دامنه ی آن تابع را بدانیم .

پس از محاسبه ی دامنه  ، به متغیرها از دامنه ، مقدار می دهیم .

مثال : دامنه توابع لگاریتمی زیر را تعیین کرده و نمودار مربوط به آن ها را رسم کنید .

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

ویدئوی چهارم

محاسبه ی لگاریتم اعداد

برای محاسبه ی لگاریتم اعداد از تعریف لگاریتم استفاده می کنیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

مثال : حاصل این عبارت ها را به دست آورید.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

محاسبه ی لگاریتم اعداد همیشه کار ساده ای نیست و در بیشتر موارد مجبوریم از ماشین حساب استفاده کنیم .

مطلب مرتبط:  دستگاه مختصات و معادله خط

مثال

آموزش لگاریتم به زبان ساده

نمودار توابع لگاریتمی

حل معادلات لگاریتمی

منظور از حل یک معادله ی لگاریتمی ، محاسبه ی کلیه ی x  هایی است که به ازای آن ها معادله ی لگاریتمی برقرار باشد .

مثال:

آموزش لگاریتم به زبان ساده

مثال : معادلات لگاریتمی فوق را حل کنید .

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

توجه : قبل از حل معادلات لگاریتمی باید اول دامنه توابع لگاریتمی را تعیین کنیم. بعد از بدست آوردن جواب ها باید مطمئن شویم جواب ها متعلق به دامنه هستند یا نه.

جواب هایی که متعلق به دامنه نباشند فاقد ارزش هستند.

ویدئوی پنجم

نمودار توابع لگاریتمی

چند قضیه ی مهم در مورد لگاریتم ها

معادلات لگاریتمی که در بالا حل کردیم همه ساده و پیش پا افتاده بودند. برای حل معادلات لگاریتمی لازم است با تعدادی از قوانین اصلی لگاریتم آشنا شویم.

در ادامه چند تا از قوانین اولیه لگاریتم ها را اثبات کرده و برای نشان دادن کاربرد آن ها مساله حل می کنیم.

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

نکته : لگاریتم هر عدد در پایه ی خودش برابر یک است .

اثبات

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

نکته : لگاریتم عدد یک در  پایه ی هر عدد دیگر ، برابر با صفر است .

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

مثال : حاصل این لگاریتم ها را به ساده ترین صورت ممکن بنویسید .

آموزش لگاریتم به زبان ساده

حل معادلات لگاریتمی با استفاده از قضایا

گاهی به کمک یک یا چند قضیه می توانیم یک معادله را حل کنیم .

مثال : با استفاده از قضیه ی اول این دو معادله ی لگاریتمی را حل کنید .

آموزش لگاریتم به زبان ساده

آموزش لگاریتم به زبان ساده

مثال : معادلات لگاریتمی زیر را حل کنید . (حل به عده خودتان)

آموزش لگاریتم به زبان ساده

نمونه سوالات لگاریتم را در ویدئوهای زیر ببینید.

نمونه سوالات لگاریتم

آموزش لگاریتم به زبان ساده به همراه آموزش قوانین لگاریتم ، خواص لگاریتم و حل نمونه سوالات لگاریتم

آموزش لگاریتم دوم دبیرستان , آموزش لگاریتم به زبان ساده , نمونه سوالات لگاریتم , نمودار تابع نمایی , دامنه توابع لگاریتمی , حل معادلات نمایی , نمودار توابع لگاریتمی

اگر مطلب فوق به‌درد‌بخور است، با بقیه به اشتراک بگذارید تا از آن استفاده کنند:

مطالب مرتبط