پیشنهاد خلایق

همه چیز درباره معادله درجه دوم و حل معادله درجه ۲

آموزش کامل حل معادله درجه ۲ در ریاضی اول دبیرستان ، ریاضی دهم ، ریاضی دهم انسانی ، ریاضی نهم ، حسابان سوم دبیرستان ، حسابان یازدهم ، ریاضی سال سوم انسانی و ریاضی یازدهم تجربی

اگر می خواهید همه چیز را درباره معادله درجه ی ۲ و حل معادله درجه ۲ بدانید و با حل معادله درجه ۳ آشنا شوید این مقاله را تا آخر بخوانید و همه فیلم های آموزشی موجود در آن را ببینید. در این فیلم های آموزشی انواع نمونه سوال معادله درجه ۲ ، به روش های مختلف به صورت ویدئویی تدریس می شود. تا آخر با ما همراه باشید.

یادآوری ویژگی های معادله درجه اول

شکل کلی معادله درجه ۱ به صورت y= ax+b است که در آن ، a ضریبی مخالف صفر و b عددی حقیقی است.

نمودار آن یک خط راست است.

معادله درجه ۱ دارای یک ریشه است.

معادله درجه ۲

به معادله هایی که پس از ساده کردن ، بالاترین درجه متغیر آنها برابر ۲ باشد معادله درجه ۲ می گویند.

شکل کلی معادله درجه ۲ به صورت زیر است:

حل معادله درجه 2

در این معادله a یک ضریب حقیقی مخالف صفر و b و c دو عدد حقیقی هستند.

تفاوت های معادله درجه ۱ و معادله درجه ۲ : 

معادله درجه ۱ دو ضریب و معادله درجه دوم ، سه ضریب دارد.

معادله درجه ۱ دارای یک ریشه است اما معادله درجه ۲ در حالت کلی دو ریشه دارد.

نمودار معادله درجه ۱ خط راست است اما نمودار معادله درجه دوم منحنی است.

مثال: نمودار معادله درجه ۲ زیر را رسم کنید.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

بحث در مورد تعداد ریشه های معادله درجه ۲

برای تعداد ریشه های یک معادله درجه ۲ ، سه حالت وجود دارد.

اگر نمودار معادله درجه ۲ محور x ها را فقط در یک نقطه قطع کند آن معادله درجه ۲ ، یک ریشه دارد.

حل معادله درجه 2

اگر نمودار معادله درجه ۲ محور x ها را در ۲ نقطه قطع کند آن معادله درجه ۲ ، دو ریشه دارد.

حل معادله درجه 2

اگر نمودار معادله درجه ۲ محور x ها را در هیچ نقطه ای قطع نکند آن معادله درجه ۲ ، ریشه حقیقی ندارد.

حل معادله درجه 2

تا این جا در مورد معادله درجه ۲ صحبت کردیم. در این قسمت می خواهیم در مورد حل معادله درجه ۲ توضیح بدهیم.

برای حل معادله درجه ۲ راه های مختلف و متنوعی وجود دارد: روش دلتا یا فرمول کلی ، حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه ، روش خوارزمی ، روش مربع کامل ، روش هندسی ، روش اتحاد جمله مشترک و …

در این جا تعدادی از این روش ها را معرفی کرده و از آن ها نمونه سوال و مساله حل می کنیم.

برای درک بهتر ، توصیه می کنیم حتما ویدئوهای موجود در این مقاله را ببینید.

حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه

روش تجزیه ، بر پایه اتحادها ، فاکتور گیری و ساده سازی استوار است. در این روش معادله درجه ۲ را با استفاده از روش هایی که ذکر خواهیم کرد به صورت حاصلضرب دو معادله درجه یک در هم در می آوریم و این دو معادله را جداگانه حل می کنیم. جواب های این دو معادله ریشه های معادله درجه ۲ می باشند.

روش تجزیه ، بر پایه ی اتحادها ، روش فاکتور گیری در ریاضی و ساده سازی استوار است. اصول کلی این روش را در زیر می توانید ببینید.

حل معادله درجه 2

نکته: معادلات درجه دومی که قابل تجزیه به دو معادله درجه اول نباشند ، جواب ندارند.

تجزیه به روش فاکتور گیری 

زمانی می توانیم معادله درجه ۲ را به روش فاکتورگیری تجزیه کنیم که ضریب c در معادله برابر صفر باشد. آموزش فاکتور گیری در ریاضی ، یکی از اصول مهم و اولیه می باشد که می توانید آن را در همین سایت ببینید. در این حالت یکی از جواب ها صفر خواهد بود. اصول کلی حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه به صورت زیر است:

حل معادله درجه 2

مثال: معادله درجه ۲ زیر را به روش تجزیه حل نمایید.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

تجزیه به کمک اتحادها

در این روش معادله درجه ۲ را به کمک یکی از اتحادها ، مثل اتحاد مربع دوجمله ای و اتحاد جمله مشترک و اتحاد مزدوج به دو معادله درجه اول تجزیه می کنیم. اتحادهایی مثل اتحاد چاق و لاغر در این روش کاربرد ندارند. چون جملات سمت چپ اتحاد چاق و لاغر از درجه ۳ هستند نه از درجه ۲.

مطلب مرتبط:  دستگاه مختصات و معادله خط

از اتحاد چاق و لاغر می توان برای حل معادله درجه ۳ در حالت های خاص استفاده کرد.

به عنوان مثال اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:

حل معادله درجه 2

مثال: معادله درجه ۲ زیر را به روش تجزیه حل نمایید.

از اتحاد جمله مشترک کمک می گیریم.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

در ویدئوی زیر می توانید حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه را به همراه تعداد زیادی نمونه سوال معادله درجه دوم ببینید.

حل معادله درجه ۲ به روش ریشه گیری ( ریشه زوج )

در بالا گفتیم شکل کلی معادله درجه ی ۲ به صورت زیر است:

حل معادله درجه 2

برای این که بتوانیم معادله درجه ۲ را از روش ریشه زوج ، حل کنیم باید ضریب b حتما مساوی صفر باشد.

یعنی روش ریشه زوج فقط برای حالت های خاص b=0 قابل استفاده است.

حل معادله درجه 2

پس می توانیم روش ریشه زوج را در قاعده کلی زیر خلاصه کنیم:

حل معادله درجه 2

مثال: معادلات درجه دوم زیر را به روش ریشه گیری حل نمایید.

حل معادله درجه 2

انواع نمونه سوال معادله درجه دوم را می توانید در این ویدئو و سایر ویدئوهای این مقاله ببینید.

حل معادله درجه ۲ به روش مربع کامل

این روش یکی از  کارامدترین روش ها برای حل معادلات درجه ی ۲ است.

در این روش معادله درجه ی ۲ را با اضافه کردن و کم کردن یک جمله مناسب ، به اتحاد مربع دو جمله ای تبدیل می کنیم. پس از گرفتن ریشه ی دوم ، معادله ی حاصل را که اکنون یک معادله درجه اول می باشد حل می کنیم.

مثال : معادله زیر را به روش مربع کامل کردن ، حل کنید.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

تدرس کامل و نمونه سوالات روش مربع کامل را در ویدئوی زیر ببینید.

حل معادله درجه ۲ به روش فرمول کلی یا روش دلتا

این روش بر مبنای روش مربع کامل طراحی شده می باشد. به این ترتیب که از روی فرم کلی معادله درجه ۲ ، یک فرمول بدست می آوریم که در حالت کلی دو جواب به ما می دهد. با قرار دادن ضریب های معادله درجه ۲ در این فرمول می توان جواب ها را بدست آورد. در واقع این روش پرکاربردترین و سر راست ترین روش برای حل معادله درجه ۲ است.

روش کلی اثبات و بدست آوردن فرمول دلتا در ریاضی را در ۵ مرحله می توان اثبات کرد که در زیر می توانید ببینید.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

همان طور که می بینید دو جواب برای x بدست آوردیم.

بنابر این ریشه های یک معادله درجه ۲ را می توانیم با استفاده از فرمول زیر بدست آوریم.

حل معادله درجه 2

برای سادگی در نوشتن ، عبارت زیر رادیکال را با حرف یونانی دلتای بزرگ نشان می دهیم.

عبارت همان طور که می بینید علامت دلتا در ریاضی یک مثلث است. به دلیل وجود همین دلتا ، این روش حل معادله درجه ۲ ، به روش دلتا نیز معروف است.

تعداد ریشه های معادله درجه ۲ به علامت دلتا بستگی دارد. برای علامت دلتا در ریاضی ، سه حالت وجود دارد:

حالت اول: دلتا مثبت است. در این حالت معادله دو ریشه دارد.

حل معادله درجه 2

حالت دوم: دلتا برابر صفر است. در این حالت معادله فقط یک ریشه دارد.

حل معادله درجه 2

حالت سوم: دلتا منفی است. در این حالت معادله ریشه حقیقی ندارد.

شکل نمودار معادله درجه ۲ را برای هر کدام از علامت های دلتا می توانید در زیر ببینید.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

تدریس کامل روش دلتا را به همراه تعداد زیادی نمونه سوال معادله درجه دوم در ویدئوی زیر ببینید.

سهمی

مبحث سهمی در پایه های مختلف مثل ریاضی دهم ، ریاضی دهم انسانی ، ریاضی سال سوم انسانی ، حسابان سال سوم ، حسابان یازدهم و ریاضی اول دبیرستان مطرح است و در ریاضی کنکور بسیار مهم است.

به نمودار معادله درجه ۲ ، سهمی گفته می شود. شاخه های سهمی رو به بالا یا رو به پایین هستند.

حل معادله درجه 2

 رأس سهمی

نقطه ای که جهت پیچش سهمی را عوض می کند ، رأس سهمی نامیده می شود.

هر سهمی دارای یک رأس و یک محور تقارن است. بالا یا پایین بودن راس سهمی ، تابعی از ضریب a است.

مطلب مرتبط:  آموزش لگاریتم به زبان ساده - فصل 5 ریاضی 11 تجربی و فصل 3 حسابان یازدهم

حل معادله درجه 2

در تصویر بالا سهمی دارای راس کمینه ( مینیمم ) و در شکل پایین دارای راس بیشینه ( ماگزیمم ) است.

مثال : نمودار کدام یک از معادلات زیر دارای رأس بیشینه و کدام یک دارای رأس کمینه است؟

حل معادله درجه 2

محور تقارن سهمی

محور تقارن ، خطی عمود بر محور x ها است که از رأس سهمی می گذرد و سهمی را به دو نیمه چپ و راست تقسیم می کند.

حل معادله درجه 2

معادله محور تقارن سهمی از رابطه زیر بدست می آید:

حل معادله درجه 2

مثال: محور تقارن سهمی های زیر را بدست آورید.

حل معادله درجه 2

نکته: گاهی اوقات ، معادله سهمی به صورت زیر ارائه می شود : حل معادله درجه 2

چنین سهمی ای ، رأسی به مختصات (h,k) و محور تقارنی با معادله x=h دارد .

مثال: در هر یک از سهمی های زیر ، رأس و محور تقارن را مشخص کرده و سپس آن را رسم کنید.

حل معادله درجه 2

مختصات رأس سهمی در فرم استاندارد

در بالا گفتیم مولفه x راس سهمی بر اساس ضریب های a و b از رابطه زیر بدست می آید.

حل معادله درجه 2

با قرار دادن مقدار x فوق در معادله درجه ۲ مولفه y راس سهمی هم بدست می آید:

حل معادله درجه 2

مثال: مختصات رأس سهمی زیر را تعیین کنید.

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

رسم نمودار سهمی

رسم نمودار سهمی را در ۴ مرحله انجام می دهیم.

محاسبه مختصات رأس سهمی

مختصات دو نقطه در طرفین رأس را بدست آوریم .

نقاط را در صفحه تعیین کرده و به هم وصل کنیم.

مثال: نمودار سهمی های زیر را رسم کنید .

حل معادله درجه 2

حل معادله درجه 2

سهمی و ریشه های معادله

با رسم سهمی می توانیم ریشه های معادله را تعیین کنیم. کافی است به خاطر داشته باشیم که محل قطع محور x ها ریشه ( یا ریشه های ) معادله درجه ۲ است.

حل معادله درجه 2

برای یادگیری کامل مبحث سهمی و مشاهده و حل نمونه سوال معادله درجه دوم ویدئوی آموزشی زیر را ببینید.

مجموع و حاصل ضرب ریشه ها

مجموع ریشه ها

مبحث مجموع و حاصل ضرب ریشه ها ، بیشتر در کتاب ریاضی سال سوم انسانی ، حسابان یازدهم و حسابان سوم دبیرستان مطرح است.

در بالا گفتیم معادله درجه ۲ در کلی ترین حالت دارای دو ریشه است. اگر این دو ریشه را با هم جمع کنیم ، مجموع ریشه ها در حالت کلی بدست می آید.

حل معادله درجه 2حل معادله درجه2

با توجه به نتایج بدست آمده ، جواب های دانش آموز اشتباه می باشند.

حاصلضرب ریشه ها

برای محاسبه حاصلضرب ریشه های معادله درجه ۲ ، دو جوابی را که برای حالت کلی بدست آوردیم در هم ضرب و ساده می کنیم.

حل معادله درجه 2

این دو نتیجه را هم باید به خاطر بسپارید و در مواقع لزوم از آن ها استفاده کنید.

تعیین معادله درجه ۲ از روی ریشه ها

این بخش ، عکس قسمت قبلی است. یعنی با داشتن ریشه های معادله درجه ۲ و با استفاده از اتحاد جمله مشترک می توان معادله درجه ۲ مورد نظر را بدست آورد.

دستورالعمل کلی به صورت زیر است:

حل معادله درجه 2

می توانید نتیجه ها را به خاطر بسپارید و از آن استفاده کنید یا این که طبق دستورالعمل بالا مستقیما عملیات ضرب ۴ جمله را در هم انجام دهید.

مثال: معادله درجه دومی بنویسید که ریشه های آن ۳- و ۴ باشد.

حل معادله درجه 2

آموزش کامل حل معادله درجه ۲ در ریاضی اول دبیرستان ، ریاضی دهم ، ریاضی دهم انسانی ، ریاضی نهم ، حسابان سوم دبیرستان ، حسابان یازدهم ، ریاضی سال سوم انسانی و ریاضی یازدهم تجربی

معادله درجه ی ۲ ، ریاضی اول دبیرستان ، ریاضی دهم ، ریاضی دهم انسانی ، ریاضی نهم ، حسابان سوم دبیرستان ، حسابان یازدهم ، ریاضی سال سوم انسانی ، ریاضی یازدهم تجربی ، روش دلتا ، علامت دلتا در ریاضی ، فرمول دلتا در ریاضی ، مربع کامل ، روش ریشه زوج ، اتحاد مربع دو جمله ای ، معادله درجه ی ۲ ، حل معادله درجه ۲ ، حل معادله درجه ۳ ، نمونه سوال معادله درجه ۲ ، معادله درجه ۱ ، حل معادله درجه ۲ به روش تجزیه ، روش خوارزمی ، روش مربع کامل ، روش هندسی ، روش اتحاد جمله مشترک ، تجزیه به روش فاکتور گیری ، روش فاکتورگیری در ریاضی

مطالب مرتبط

جدیدترین قدیمی ترین بیشترین رای
نادر

عالی بود ممنون از لطقتون

پدرام ملکی

در اولین فرصت ارائه خواهد شد

ناشناس

درجه سه چی