آموزش بردارها در فیزیک ، برآیند نیروها در فیزیک ، کمیت های نرده ای و برداری
آموزش بردارها در فیزیک ، برآیند نیروها در فیزیک ، کمیت های نرده ای و برداری ، تجزیه ، تفریق و ضرب بردارها در بخش آموزش سایت خلایق
آموزش بردارها در فیزیک یکی از قدم های بنیادی در درک مطالب است. در بخش های مختلف فیزیک مثل ، گشتاور ، مباحث کار در فیزیک ، قانون دوم نیوتن ، قانون سوم نیوتن و به طور کلی قانون های نیوتن و سایر مباحث فیزیک مکانیک نیازمند استفاده از بردارها هستیم.
در فیزیک الکتریسیته و مغناطیس هم همین طور است. در کلیه مباحث فیزیک الکتریسیته و مغناطیس از جمله میدان الکتریکی ، میدان مغناطیسی ، دو قطبی الکتریکی ، الکترومغناطیس ، قانون کولن و … مرتبا از جبر برداری استفاده می کنیم.
در دبیرستان ، اموزش فیزیک دهم تجربی ، حل مسائل فیزیک ۳ تجربی و ریاضی ، فیزیک یازدهم همه و همه وابسته به بردارها و جبر برداری هستند.
در آموزش فیزیک دانشگاهی از جمله فیزیک ۱ ، فیزیک ۲ ، الکترومغناطیس ، استاتیک ، دینامیک ، سری کتاب های فیزیک هالیدی و امثال اینها ، استفاده از جبر برداری امتناع ناپذیر است.
فهم دروس بسیاری از رشته ها مثل رشته ی مهندسی مکانیک و مهندسی برق بدن درک صحیح مفهوم بردار غیر ممکن است.
در فیزیک کنکور گاها از مبحث بردارها سوال مطرح می شود و داوطلب کنکور رشته تجربی و کنکور رشته ریاضی برای پاسخ به بسیاری از تست های کنکور باید به مبحث بردارها احاطه داشته باشند.
بعد از این توضیح از شما دعوت می کنم با آموزش جامع مبحث بردارها در فیزیک در سایت خلایق با ما همراه باشید.
اولین فیلم را در زمینه آشنایی با بردارها می توانید در زیر ببینید:
آشنایی با مفهوم بردار
الف : آشنایی با کمیت های نرده ای و برداری
کمیت های فیزیکی به دو دسته کمیت های نرده ای و برداری تقسیم می شوند. کمیت های نرده ای همان کمیت های معمولی هستند مثل جرم ، کار ، چگالی ، فشار ، دما ، گرما ، انرژی و …
برای شناختن هر یک از کمیت های نامبرده ، دانستن مقدار مورد نظر کفایت می کند. مثلا می گوییم ۱۰ ژول گرما منتقل شده است. جرم این جسم ۱۰ کیلوگرم است.
اما برای معلوم کردن بعضی کمیت ها علاوه بر اندازه ، جهت کمیت را هم باید بدانیم. مثل سرعت ، میدان الکتریکی ، نیرو ، میدان مغناطیسی ، ممان الکتریکی ، نیرو ، گشتاور ، شتاب ، جابجایی و …
یک مثال حرفه ای تر از کمیت های نرده ای و برداری
انرژی پتانسیل گرانشی جسمی به جرم ۲ کیلوگرم که در ارتفاع ۱۰ متری از سطح زمین قرار دارد را حساب کنید.
سوال ۱: اگر از ما پرسیده شود انرژی پتانسیل گرانشی ذخیره شده در جسم چقدر است آیا همه چیز در مورد انرژی پتانسیل جسم معلوم است؟
پاسخ: بله
سوال ۲ : اگر از ما پرسیده شود این جسم چقدر از محل اولیه ی خود جابجا شده است آیا همه چیز در مورد آن معلوم است؟
پاسخ: خیر – چون معلوم نکرده ایم جسم در کدام جهت جابجا شده است.
بنابراین کمیت های نرده ای و برداری را به این صورت معرفی می کنیم.
کمیت های نرده ای
کمیت هایی هستند که فقط دارای اندازه ( مقدار ) باشند.
کمیت های برداری
کمیت هایی هستند که علاوه بر اندازه ( مقدار ) دارای جهت هم باشند.
سوال ۳: چگونه کمیت های برداری و نرده ای را از هم تشخیص دهیم؟
پاسخ: کافی است بپرسیم “ در کدام جهت؟ “ . اگر سوال معنی دار بود آن کمیت برداری است و اگر بی معنی بود نرده ای است.
سوال ۴: چرا نرده ای بودن یا برداری بودن کمیت های فیزیکی برای ما مهم است؟
پاسخ: چون عملیات جبری مربوط به این دو نوع کمیت با هم فرق دارد.
تعریف ریاضی بردار: بردارها پاره خط های جهت داری هستند که آن ها را با یک پیکان نشان می دهیم.
تعریف فیزیکی بردار: هر کمیت فیزیکی که علاوه بر اندازه ، دارای جهت هم باشد.
یک بردار از دو قسمت اصلی تشکیل می شود: اندازه و جهت
اندازه ( بزرگی – مقدار) : طول بردار را می گویند.
جهت : خودش از دو قسمت تشکیل می شود: راستا و سو
راستا: امتداد خطی است که بردار روی آن قرار دارد.
سو : یکی از دو طرف راستا است که آن را با پیکان نشان می دهیم.
نتیجه: برای شناخت جهت یک بردار ، باید راستا و سوی آن بردار را بشناسیم.
مثال: اندازه و جهت بردار های زیر را به طور نسبی با هم مقایسه کنید.
برای تعیین جهت بردارهای فوق از یک دستگاه مختصات به صورت زیر کمک می گیریم.
پاسخ: طول بردار الف ، یک واحد ، طول بردار ب دو واحد و طول بردار ج ، سه واحد می باشد.
راستای بردار الف ، محور xها و سوی آن در جهت x– ها است.
راستای بردار ب ، محور y ها و سوی آن در جهت y+ ها است.
راستای بردار ج ، خط x=y ها و سوی آن در جهت شمال شرقی است.
قرارداد : بردارها را با حروف لاتین نشان می دهیم و برای تشخیص آن ها از کمیت های نرده ای ، بر روی آن ها یک علامت پیکان قرار می دهیم.
سوال: آیا هر کمیت فیزیکی که دارای اندازه و جهت باشد الزاما کمیتی برداری است؟
پاسخ :خیر – بعضی از کمیت ها هستند که دارای اندازه و جهت هستند اما کمیت برداری نیستند مانند جریان الکتریکی ، دوران
برای این که یک کمیت به ظاهر برداری ، واقعا برداری باشد باید تحت تبدیلات دورانی ناوردا باشد. فهم این موضوع فراتر از سطح این مقاله است. برای کسب اطلاعات دقیق به یک کتاب ریاضی فیزیک معتبر مثل ریاضی فیزیک صدری حسنی یا آرفکن مراجعه کنید.
ب : چند تعریف اولیه برای بردارها
بردار های مساوی (معادل – هم سنگ) : بردارهایی که دارای اندازه و جهت مساوی باشند.
بردار صفر : برداری با اندازه ی صفر و جهت نامعلوم است. بردار صفر را با علامت زیر نشان می دهند:
بردار قرینه : برای یک بردار دلخواه ، قرینه ی آن ، برداری است هم راستا با آن و با سوی مخالف
قرینه ی یک بردار را با علامت منفی آن بردار نشان می دهیم.
نکته ی ۱ : قرینه ی بردار صفر برابر خودش است.
نکته ی ۲: قرینه ی قرینه ی یک بردار ، برابر خودش است.
نقطه اثر بردار : به قسمت انتهای یک بردار نقطه اثر بردار گفته می شود.
جمع و تفریق برداری
الف: جمع بردارها
حاصل جمع دو یا چند بردار هم جنس را ، جمع برداری آن بردارها می گویند.
جمع بردارها یکی از ابتدایی ترین و در عین حال مهم ترین قدم ها دز زمینه یادگیری جبر بردارها است.
اگر بردارها هم جنس نباشند نمی توانیم آن ها را با هم جمع نماییم.
کمیت های نرده ای غیر هم جنس را هم نمی توانیم با هم جمع کنیم.
در اصلاح حرفه ای می گوییم برای این که بتوان دو بردار غیر هم جنس را با هم جمع کرد باید متعلق به یک پایه برداری باشند.
به طور مشابه برای این که بتوانیم دو کمیت اسکالر را با هم جمع کنیم ، باید این دو کمیت متعلق به یک پایه اسکالر باشند.
برای جمع بردارها دو حالت را در نظر می گیریم.
حالت اول برای جمع بردارها : بیش از ۲ بردار داشته باشیم.
قدم اول: یکی از بردارها را به دلخواه در نظر گرفته سپس بردار معادل یکی دیگر از بردارها را به گونه ای به دنبال آن رسم می کنیم که نقطه اثر آن در انتهای بردار اول قرار داشته باشد. این کار را تا آخرین بردار انجام می دهیم.
قدم دوم : از نقطه اثر اولین بردار به نوک آخرین بردار ، یک بردار جدید رسم می کنیم. این بردار ، حاصل جمع این چند بردار یا برآیند آن ها نامیده می شود. (شکل بالا )
نکته : ترتیب قرار گرفتن بردارها در جمع آنها تاثیری ندارد.
حالت دوم برای جمع بردارها : فقط دو بردار داشته باشیم.
اگر فقط دو بردار داشته باشیم می توانیم از همان روش چند برداری استفاده کنیم یا یک روش جدید به نام روش متوازی الاضلاع را به کار ببندیم.
روش متوازی الاضلاع
قدم اول: بردار معادل بردارها را از یک نقطه اثر مشترک رسم می کنیم.
قدم دوم: به موازات هر کدام از بردارها یک خط چین رسم می کنیم.
قدم سوم: از نقطه اثر بردارها به محل تقاطع خط چین ها برداری رسم می کنیم. این بردار همان بردار معادل است.
اندازه ی بردار برآیند
با جمع بردارها آشنا شدیم. یک روش بسیار خوب دیگر برای جمع بردارها ، روش تجزیه است که در ادامه در همین مقاله توضیح خواهیم داد.
یک موضوع بسیار مهم دیگر اندازه بردار برایند است. در بسیاری مواقع لازم داریم اندازه و جهت بردار برآیند را بدست آوریم.
برای بدست آوردن جهت بردار برآیند ، معمولا از روش تجزیه استفاده می کنیم. اما در مورد اندازه ، شرایط کمی فرق می کند.
اگر بخواهیم اندازه برایند چند بردار را بدست آوریم از روش تجزیه استفاده می کنیم . برای محاسبه برایند دو بردار یک رابطه وجود دارد. 
برای برایند دو بردار ، سه حالت خاص و در عین حال بسیار مهم وجود دارد. می توانید این حالت های خاص را در فیلم آموزشی بالا ببینید.
ب : تفریق بردارها
تفریق دو بردار از هم بسیار ساده است. کافی است اولی را با قرینه دومی جمع کنیم.
شکل زیر نحوه تفریق دو بردار از هم را نشان می دهد.
اگر بخواهیم تفریق چند بردار را حساب کنیم ، اولی را با قرینه بقیه جمع می کنیم.
نکته مهم این است که تفریق بردارها ، بر خلاف جمع بردارها ، جابجاپذیر نیست. این موضوع را در زیر می توانید ببینید.
در حالت کلی اندازه تفریق چند بردار را به کمک تجزیه بردارها انجام می دهیم . اما برای محاسبه اندازه حاصل تفریق دو بردار می توان از رابطه زیر استفاده کرد:
این رابطه می گوید اگر اندازه دو بردار و زاویه بین آنها را داشته باشیم می توانیم اندازه تفریق آن ها را به روش فوق محاسبه کنیم.
در ویدئوی زیر می توانید به طور کامل با تجزیه بردارها و فرآیند تجزیه آشنا شوید:
تجزیه ی بردارها
تجزیه ی بردار ، عکس عمل جمع برداری است .
اگر یک بردار داشته باشیم می توانیم آن را در یک صفحه ی ۲ بعدی و روی محورهای x و y به دو بردار دیگر تجزیه کنیم.
همان طور که گفتیم از تجزیه می توان برای محاسبه طول و جهت بردار برایند و تفریق چند بردار استفاده کرد.
مراحل تجزیه ی یک بردار
از نوک بردار موجود ، ۲ خط چین به موازات محورهای مختصات بر آن ها عمود می کنیم .
با عملیات ریاضی مولفه ها را در هر یک از راستاها بدست می آوریم .
مثال : برداری به بزرگی ۳ واحد داریم که با محور x ها زاویه ی ۳۰ درجه می سازد . مولفه های x و y این بردار را محاسبه کنید .
بردارهای یکه
بردارهای یکه ، بردارهایی با طول واحد و در جهت مثبت محور x ها و y ها هستند .
کاربرد بردارهای یکه این است که به مولفه های یک بردار ، ماهیت برداری می دهند .
هر بردار را بر حسب مولفه هایش می توانیم به صورت زیر نشان دهیم :
مثال : مولفه های x و y یک بردار در دستگاه مختصات زیر نشان داده شده اند . این بردار را به صورت نمایش مولفه ای و سپس به صورت تصویری نشان دهید .
با داشتن مولفه های یک بردار می توانیم زاویه ای که با محور x ها می سازد را بدست آوریم .
مثال : اگر مولفه های x و y یک بردار به ترتیب برابر ۲ و ۳ باشند ،
الف – بزرگی بردار را بدست آورید.
ب – زاویه ای را که با محور x ها می سازد را بدست آورید.
به کمک تجزیه ی بردار ها می توانیم چند بردار را با هم جمع برداری کنیم. و در صورت لزوم طول بردار برآیند را به کمک قضیه ی فیثاغورس محاسبه کنیم.
مثال : ۳ بردار نیرو در یک دستگاه مختصات داده شده اند. این بردارها را با هم جمع برداری کنید و اندازه ی بردار برایند را بدست آورید.
این مثال نشان می دهد برآیند نیروها در فیزیک را می توان به کمک تجزیه به سادگی محاسبه کرد.
اگر با قانون های نیوتن آشنا باشید حتما می دانید که تجزیه بردارها در مسائل مربوط به هر سه قانون نیوتن کاربرد دارد. به خصوص در قانون دوم نیوتن و قانون سوم نیوتن .
برای محاسبه برآیند نیروها در فیزیک هم از فرمول برایند ، تجزیه و حالت های خاص برایند استفاده می کنیم.
یک مثال خوب از کاربرد تجزیه بردارها در الکتریسیته ، دو قطبی الکتریکی است. در مساله محاسبه میدان الکتریکی دو قطبی الکتریکی ، باید میدان حاصل از هر یک از بارها را تجزیه و سپس با هم جمع برداری نماییم.
در بحث کار در فیزیک هم برای محاسبه کار ، نیروها را مرتبا تجزیه می کنیم.
فیلم آموزش انواع ضرب برای بردارها :
ضرب بردارها
بعد از جمع بردارها و تفریق آن ها نوبت به ضرب بردارها می رسد
ضرب اسکالر
در ضرب اسکالر یک عدد حقیقی را در یک بردار ضرب می کنند .
در این نوع ضرب بردار ثانویه برداری هم راستا با بردار اولیه خواهد بود .
اگر ضریب آلفا یک عدد مثبت باشد ، دو بردار هم سو و در نتیجه هم جهتند ولی اگر آلفا عددی منفی باشد ، دو بردار اولیه و ثانویه مختلف الجهتند.
در حالت خاصی که یک بردار را در عدد حقیقی صفر ضرب کنیم ، بردار صفر حاصل خواهد شد .
حاصلِ ضربِ اسکالر ، همیشه یک بردار است .
سه نمونه از کاربرد ضرب اسکالر را می توانید در زیر ببینید:
همان طور که می بینید از ضرب کمیت اسکالر بار در بردار میدان الکتریکی ، کمیت برداری نیرو بدست آمده است. از حاصل ضرب کمیت نرده ای جرم در کمیت برداری شتاب ، کمیت برداری نیرو حاصل شده است.
از حاصل ضرب کمیت نرده ای جرم در کمیت برداری سرعت ، بردار تکانه به دست آمده است.
ضرب نقطه ای
ماهیت و کاربرد ضرب نقطه ای ، تصویر کردن است. به این صورت که با ضرب نقطه ای یک بردار در بردار دیگر ، آن را بر بردار دیگر تصویر می کنیم.
ویژگی مهم ضرب نقطه ای این است که خاصیت جابجایی دارد:
در زیر می توانید نمایش تصویری ضرب نقطه ای را ببینید:
برای ضرب نقطه ای بین ۲ بردار دو رابطه وجود دارد
رابطه اول برای ضرب نقطه ای
این رابطه زمانی کاربرد دارد که اندازه دو بردار و زاویه بین آن ها را داشته باشیم.
این رابطه نشان می دهد برای ضرب نقطه ای بین دو بردار سه حالت خاص وجود دارد:
رابطه دوم برای ضرب نقطه ای 
همان طور که می بینید این رابطه زمانی کاربرد دارد که مولفه های دو بردار را داشته باشیم.
دو نکته
این دو رابطه با هم معادلند.
می توانیم با مساوی قرار دادن این دو رابطه ، برای زاویه ی بین دو بردار ، رابطه ای بدست آوریم.
ضرب برداری
حاصل ضرب دو بردار همیشه یک بردار است که بر صفحه ی دو بردار اولیه عمود است .
سوال : در ضرب برداری جهت بردار حاصل ضرب را چگونه تعیین کنیم ؟
پاسخ : از قاعده ی دست راست کمک می گیریم .
در قاعده ی دست راست ، ۴ انگشت دست راست را در جهت بردار اول و انتهای کف دست را در جهت بردار دوم قرار می دهیم . به طوری که نحوه ی بسته شدن انگشتان از بردار اول به بردار دوم باشد . در این حالت ، شست دست راست جهت بردار حاصل ضرب را نشان می دهد .
ضرب برداری بر خلاف ضرب نقطه ای خاصیت جابجایی ندارد.
اندازه ی حاصلضرب برداری
با استفاده از استدالال زیر می توانیم نشان دهیم اندازه ضرب برداری چگونه بدست می آید.
بنابراین اندازه حاضلضرب برداری از رابطه زیر محاسبه می شود:
محاسبه ی حاصل ضرب برداری
برای این که مولفه های ضرب برداری را بدست آوریم ، از خاصیت توزیع ضرب نسبت به جمع و از ویژگی جبر دوری بردارهای یکه استفاده می کنیم.
برای درک جبر دوری و نحوه ضرب برداری بردارهای یکه به این نکته توجه داشته باشید که بردارهای یکه بر هم عمودند و دارای اندازه واحدند.
در حل مسائل فیزیک ۳ تجربی و ریاضی و فیزیک یازدهم به خصوص در مبحث مغناطیس به کرات با ضرب برداری مواجه خواهید شد.
نکته : تقسیم بردارها بر هم تعریف نمی شود .
حالت های خاص برای ضرب برداری
با توجه به رابطه زیر می توانیم سه حالت خاص برای ضرب برداری در نظر بگیریم.
چند مثال برای ضرب برداری
در زیر می توانید ۳ مورد از کاربردهای ضرب برداری را در فیزیک ببینید:
در سطر اول اندازه و بردار نیروی وارد بر ذره باردار در میدان مغناطیسی را می بینید.
در سطر دوم اندازه و بردار گشتاور وارد بر یک جسم را می بینید.
در سطر سوم اندازه و بردار سرعت خطی را می بینید
نکته : در بعضی کتاب ها ضرب برداری را ضرب خارجی و ضرب نقطه ای را ضرب داخلی معرفی می کنند که اشتباه است.
در واقع ضرب برداری حالت خاصی از ضرب خارجی و ضرب نقطه ای حالت خاصی از ضرب داخلی است.
تفاوت ها را می توانید در کتابهای جبر خطی مشاهده کنید.
در پایان باز هم تاکید می کنم که مبحث بردارها یک بحث پایه ای است و به کلیه داوطلبان کنکور رشته تجربی و کنکور رشته ریاضی پیشنهاد می کنم این مبحث را به خوبی فرا بگیرند.
بزودی سعی خواهیم کرد با ارائه مقاله ای جدید به کاربرد بردارها در دروس رشته ی مهندسی مکانیک بپردازیم.
